mathroom

تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده

جدول زیر تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده به‌ترتیب سال پیدا شدن را نشان می‌دهد. در زیر M همان تابع مرسن است که به‌صورت $M_n=2^n-1$ تعریف می‌شود.

عدد	تعداد ارقام	سال (میلادی)
M_۱۲۷	۳۹	۱۸۷۶
۱۸۰×(M_۱۲۷)^۲ + ۱	۷۹	۱۹۵۱
M_۵۲۱	۱۵۷	۱۹۵۲
M_۶۰۷	۱۸۳	۱۹۵۲
M_۱۲۷۹	۳۸۶	۱۹۵۲
M_۲۲۰۳	۶۶۴	۱۹۵۲
M_۲۲۸۱	۶۸۷	۱۹۵۲
M_۳۲۱۷	۹۶۹	۱۹۵۷
M_۴۴۲۳	۱٬۳۳۲	۱۹۶۱
M_۹۶۸۹	۲٬۹۱۷	۱۹۶۳
M_۹۹۴۱	۲٬۹۹۳	۱۹۶۳
M_۱۱۲۱۳	۳٬۳۷۶	۱۹۶۳
M_۱۹۹۳۷	۶٬۰۰۲	۱۹۷۱
M_۲۱۷۰۱	۶٬۵۳۳	۱۹۷۸
M_۲۳۲۰۹	۶٬۹۸۷	۱۹۷۹
M_۴۴۴۹۷	۱۳٬۳۹۵	۱۹۷۹
M_۸۶۲۴۳	۲۵٬۹۶۲	۱۹۸۲
M_۱۳۲۰۴۹	۳۹٬۷۵۱	۱۹۸۳
M_۲۱۶۰۹۱	۶۵٬۰۵۰	۱۹۸۵
۳۹۱۵۸۱×۲^۲۱۶۱۹۳ − ۱	۶۵٬۰۸۷	۱۹۸۹
M_۷۵۶۸۳۹	۲۲۷٬۸۳۲	۱۹۹۲
M_۸۵۹۴۳۳	۲۵۸٬۷۱۶	۱۹۹۴
M_{۱۲۵۷۷۸۷}	۳۷۸٬۶۳۲	۱۹۹۶
M_{۱۳۹۸۲۶۹}	۴۲۰٬۹۲۱	۱۹۹۶
M_{۲۹۷۶۲۲۱}	۸۹۵٬۹۳۲	۱۹۹۷
M_{۳۰۲۱۳۷۷}	۹۰۹٬۵۲۶	۱۹۹۸
M_{۶۹۷۲۵۹۳}	۲٬۰۹۸٬۹۶۰	۱۹۹۹
M_{۱۳۴۶۶۹۱۷}	۴٬۰۵۳٬۹۴۶	۲۰۰۱
M_{۲۰۹۹۶۰۱۱}	۶٬۳۲۰٬۴۳۰	۲۰۰۳
M_{۲۴۰۳۶۵۸۳}	۷٬۲۳۵٬۷۳۳	۲۰۰۴
M_{۲۵۹۶۴۹۵۱}	۷٬۸۱۶٬۲۳۰	۲۰۰۵
M_{۳۰۴۰۲۴۵۷}	۹٬۱۵۲٬۰۵۲	۲۰۰۵
M_{۳۲۵۸۲۶۵۷}	۹٬۸۰۸٬۳۵۸	۲۰۰۶
M_{۴۳۱۱۲۶۰۹}	۱۲٬۹۷۸٬۱۸۹	۲۰۰۸
M_{۵۷۸۸۵۱۶۱}	۱۷٬۴۲۵٬۱۷۰	۲۰۱۳

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده,

ساعت 23:57 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

اعداد اول

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ۵۷میلیون و ۸۸۵هزار و ۱۶۱منهای یک است. این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل ۱۰ میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است. همچنین مبلغ ۱۵۰ هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با ۱۰۰ میلیون رقم و ۲۵۰ هزار دلار برای ۱ میلیارد رقم در نظر گرفته شده است. این موسسه ممکن است مبلغ ۱۰۰ هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول ۱۳ میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی‌ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:کشف و محاسبه عدد اول,جایزه ها برای پیداکردن اعداد اول,الگو های توزیع اعداد اول,

ساعت 23:56 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

اعداد مرسن

اعداد اول مرسن اعداد اولی به فرم $M_n=2^n-1$ هستند که به افتخار نام کشیش فرانسوی مارین مرسن (به انگلیسی: Marin Mersenne)، به این نام خوانده می‌شوند. چرا که مرسن در زمینهٔ اول بودن این نوع اعداد اظهار نظری نادرست اما محرک کرده بود. اولین اعداد مرسن اعداد زیر هستند: ۳, ۷, ۳۱, ۱۲۷, ۸۱۹۱, ۱۳۱۰۷۱, ۲۱۴۷۴۸۳۶۴۷ و ... که متناظر هستند با ... ,۸۹ ,۶۱ ,۳۱ ,۱۹ ,۱۷ ,۱۳ ,۷ ,۵ ,۳ ,۲ =n

اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه

قضیه اول: اگر $M_n$ اول باشد، $n$ نیز باید خود اول باشد.

اثبات: فرض کنیم که حکم نادرست است (برهان خلف). یعنی به ازای $n$ مرکبی، $2^n-1$ اول است؛ در این صورت می‌توان $n$ را به صورت ضرب دو عدد غیر یک $n = rs$ نوشت. پس:

$2^n-1=2^{rs}-1=(2^r)^s-1=(2^r-1)(\cdots)$ پس اگر $s$ زوج باشد، طبق اتحاد مزدوج و اگر فرد باشد طبق اتحاد چاق و لاغر (لاگرانژ) به عوامل اول تجزیه می‌شود و اول نیست؛ پس به تناقض می‌رسیم و فرض خلف باطل است. پس $n$ باید اول باشد.

اعداد مرسن واعداد کامل(تام)

بدیهی است که اعداد مرسن در مبنای دو به صورت $((100\cdots0)-1)_2$ می‌باشد که برابر $(11\cdots1)_2$ است ( $p$ تا یک).

تعریف: عدد کامل (تام) عددی است که با مجموع مقسوم علیه‌های خود، به جز خودش، برابر باشد. از معروفترین آنها ۶=۳+۲+۱ و ۲۸=۱۴+۷+۴+۲+۱ هستند.

قضیه دوم: هر عدد کامل به صورت $(2^p-1)(2^{p-1})$ است که $2^p-1$ اول است.

این‌ها اعداد به شکل $2^p-1$ مرسن هستند و متعاقباً توان‌های آن‌ها ( $p$ )اول است. پس با یافتن هر عدد کامل، می‌توان یک عدد مرسن جدید پیدا کرد.

آزمایش لوکاس- لمر

تقسیم آزمایشی اکثراً برای تصدیق مرکب بودن یک عدد مرسن اول پنهان استفاده می‌شود. این آزمایش فوراً نشان می‌دهد که $M_p$ به ازای $p=11,23,83,131,179,191,239,251$ مرکب است (به ترتیب با عوامل اول ۲۳، ۴۷، ۱۶۷، ۲۶۳، ۳۵۹، ۳۸۳، ۴۷۹ و ۵۰۳).

یک آزمایش بسیار قدرتمند اولیه برای شناسایی $M_p$ آزمایش لوکاس- لمر است.

ابتدا سه قضیه زیر را مطرح می‌کنیم:

اگر $n\equiv3$ به پیمانه ۴ و $n$ عدد اول باشد، در این صورت $2n+1 | Mn$ ، اگر $2n+1$ اول باشد.
همچنین این درست است که عوامل اول $2^p-1$ باید شکل $2kp+1$ داشته باشند که $k$ یک عدد مثبت طبیعی است و در عین حال شکل $8n+1$ یا $8n-1$ را داشته باشد (آسپنسکی و هیسلت ۱۹۳۹).
یک عامل اول $p$ از یک عدد مرسن $M_p=2^p-1$ (چه اول و چه مرکب) در صورتی عدد ویفریچ اول است که $p^2|2^p-1$ . بنابراین یک عدد مرسن نمی‌تواند عدد ویفریچ اول باشد.

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

می‌دانیم تمام اعداد کامل به صورت حاصل ضرب یک عدد اول مرسن توانی از دو می‌باشند؛ اما در مورد اعداد فرد کامل چه نظریه‌ای وجود دارد؟ اگر این چنین عددی وجود داشته باشد در این صورت، به صورت حاصل ضرب یک مربع کامل در یک عدد اول به توان فرد می‌باشد، این عدد حداقل هشت عامل اول دارد و حداقل بر ۳۷ عدد اول بخش پذیر است (لزومی ندارد که متمایز باشند)؛ این عدد حداقل در مبنای اعشاری ۳۰۰ رقم دارد؛ و یک مقسوم علیه اول بزرگ تر از ۱۰۲۰ دارد.

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

این سوال معادل با پاسخ دادن به این سوال است که آیا تعداد نامحدودی عدد کامل زوج است. جواب این است که احتمالاً بله است (زیرا سری هارمونیک واگراست).

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

نظریه اولر: اگر $k>1$ باشد و $p = 4k+3$ اول باشد، در این صورت $p^2|2^p-1$ نیز اول است، اگر و تنها اگر باقی‌مانده تقسیم $2p$ بر $p^2|2^p-1$ برابر $1$ باشد.

همچنین اگر $p = 4k+3$ باشد و $p^2|2^p-1$ اول باشد، در این صورت عدد مرسن $p^2|2^p-1$ مرکب است (این حدس احتمالاً منطقی است از آن جایی که تعداد اعداد اولی که به ازای $p$ به صورت $2p+1$ باشد، بی نهایت است.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:اعداد مرسن,

ساعت 23:54 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

جبر در تاریخ

تاریخچهٔ این علم به بیش از ۳۰۰۰ سال پیش در مصر و بابل برمی‌گردد که در آنجا در مورد حل برخی از معادلات خطی بحث شده است. در هند و یونان باستان نیز، حدود یک قرن پیش از میلاد از روش‌های هندسی برای حل برخی از معادلات جبری استفاده می‌گردیده است. در قرن اول میلادی نیز بحث در مورد برخی از معادلات جبری در آثار دیوفانتوس یونانی و برهماگوپتای هندی دیده می‌شود. کتاب جبر و المقابلهٔ خوارزمی، اولین اثر کلاسیک در جبر می‌باشد که که کلمهٔ جبر یا Algebra از آن آمده است. خیامدیگر ریاضی‌دان شهیر ایرانی است که در آثار خود جبر را از حساب تمییز داد و گامی بزرگ را در تجرید و پیشرفت این علم برداشت. درقرن ۱۶ میلادی، روش حل معادلات درجه سوم توسط دل‌فرو و معادلات درجه چهارم توسط فراری کشف گردید.

”	قسمتی از معادله را که شامل مقدار منفی است نمی‌توان حذف کرد و به طرف دیگر معادله افزود این عمل را جبر گویند، جمله‌های مشابه را می‌توان از دو طرف معادله حذف کرد این عمل مقابله است	“
—بهاء الدین عاملی معروف به شیخ بهائی

دو واژه «جبر» و «الگوریتم» که امروزه در ریاضیات تمام ملل جهان راه یافته در واقع برگرفته از ترجمه لاتینی کتاب خوارزمی که اولی از نام کتاب و دومی اسم «الخوارزمی» یعنی الگوریتمی است. واژة «الجبر» (در فارسی: «جبر») نخستین بار در عنوان کتاب وی به کار رفته و پس از آشنایی اروپاییان با این کتاب با مختصر تغییراتی (مثلاً به صورت algebra در انگلیسی و algةbre در فرانسه) به زبانهای دیگر راه یافته است. این واژه از ریشة جَبَرَ در عربی گرفته شده که به معنای شکسته بندی و جُبران است، اما خوارزمی آن را بر عملِ افزودن جمله‌های مساوی بر دو سوی یک معادله، برای حذف جمله‌های منفی، اطلاق می‌کند. واژة «مقابله»، که آن هم در عنوان کتاب خوارزمی دیده می‌شود، به معنای حذف مقادیر مساوی از دو طرف معادله است. ابوکامل شجاع بن اسلم^{[واژه‌نامه ۲۳]}(نیمة دوم قرن سوم) نیز مشتقات واژة جبر را به همین معنی به کار می‌برد.

پرینت از صفحه‌ای از کتاب الجبر خوارزمی

مثلاً برای حل معادلة ۸۰ = x ۲۰ـ۱۰۰ می‌گوید: «صد درهم را با بیست شی ء جبر کن و آن را با هشتاد جمع کن. ابوریحان بیرونی عمل جبر را به افزودن مقادیر مساوی به دو کفة ترازو برای حفظ تعادل آن تشبیه می‌کند خواجه نصیرالدین طوسی، غیاث الدین جمشید کاشانی و ابن غازی مکناسی نیز جبر و مقابله را به همین صورت تعریف کرده‌اند.

نظریات خیام و فارابی درباره جبر

در طبقه‌بندیهای یونانیان از علوم، نام علم جبر جزء علوم ریاضی نیامده است. نخستین کسی که جبر را در طبقه‌بندی علوم داخل کرده فارابیاست که در احصاءالعلوم خود بخشی را به «علم الحیل» یا «علوم الحیل» اختصاص داده است. این علوم، که فارابی در تعریف آنها می‌گوید:

علمِ شیوة چاره جویی است برای کاربرد آنچه وجودشان در ریاضیات با برهان ثابت شده و انطباق آنها بااجسام طبیعی

سپس قسمتی از آن علم را حیل عددی می‌نامد که: «شامل علمی است در میان مردم زمان ما به جبر و مقابله معروف است» از اینکه فارابی جبر را جزء علوم حیل آورده، معلوم می‌شود که از نظر او هنوز جبر نه علمی برهانی بلکه مجموعه‌ای از شگردها برای استخراج ریشه‌های معادلات شمرده می‌شده است. این دیدگاه به نحوی در طبقه‌بندی ابن سینا از علوم هم منعکس شده است. وی در رسالة فی اقسام العلوم العقلیة (ص ۱۲۲) جبر را جزء «اجزاء فرعی (الاقسام الفرعیة) ریاضیات» آورده و آن را، در کنار «عمل جمع و تفریق بر حَسَب حساب هندی» یکی از «شاخه‌های علم اعداد (من فروع علم العدد)» شمرده است. خیام در رسالة جبر و مقابلة خود، «صناعت جبر و مقابله» را یکی از «مفاهیم ریاضی» می‌شمارد «که در بخشی از فلسفه که به ریاضی معروف است، بدان نیاز می‌افتد». هرچند خیام در این عبارت در صدد به دست دادن تعریفی جامع و مانع از جبر نیست، اما از نوشتة او چنین استفاده می‌شود که جبر اولاً «صناعت» است و ثانیاً جزء علوم ریاضی است. نتیجة کلی سخن وی این است که جبر در طبقه‌بندی کلی علومفلسفی قرار می‌گیرد، هرچند او جایگاه آن را در میان این علوم مشخص نمی‌کند. وی همچنین در تعریف جبر می‌نویسد که:

فن جبر و مقابله فنی علمی است که موضوع آن عدد مطلق و مقادیر قابل سنجش است از آن جهت که مجهول اند ولی مرتبط با چیز معلومی هستند که به وسیلة آن می‌توان آنها را استخراج کرد

بنابراین، در نظر خیام، مقادیر عددی و مقادیر هندسی هر دو می‌توانند ریشة معادلات جبری باشند. او در رسالة دیگر خود به نام فی قسمة ربع الدائرةنیز تلویحاً با این فکر که جبر مجموعه‌ای از شگردها («حیله»، توجه کنید که در تقسیم بندی فارابی جبر جزء «علوم الحیل» قرار می‌گیرد) باشد مخالفت می‌کند.خیام می‌نویسد:

آنکه گمان برده است که جبر حیله‌ای (شگردی) برای استخراج اعداد مجهول است، امر نامعقولی را گمان برده است . ... جبر و مقابله اموری هندسی است که به وسیلة اَشکال پنجم و ششم مقالة دوم (اصول اقلیدس) مبرهن می‌شود

به این ترتیب، جبر و مقابله، از نظر خیام، علمی هندسی است و چون هندسی است بُرهانی نیز هست. این اختلاف در جایگاه جبر به دلیل تازگی این علم و دو تصوری است که از آغاز این علم به موازات هم وجود داشته است. در طبقه‌بندیهای متأخر علم جبر و مقابله «از فروع علم حساب» شمرده شده است. اما باید توجه داشت که این طبقه‌بندیها به دورانی تعلق دارند که دستاوردهای بزرگ علم جبر دوران اسلامی فراموش شده و از آن تقریباً چیزی جز حل شش دسته معادلة خوارزمی باقی نمانده بود.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:جبر و مقابله,خوارزمی,نظریات خیام و فارابی درباره جبر,

ساعت 23:45 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

بیتمن، سلفریج و واگستاف حدس زیر را زده‌اند: فرض کنیم $p$ هر عدد طبیعی فرد باشد؛ در این صورت اگر دو شرط اول -که در زیر آمده است- برقرار باشد، گزاره سوم برقرار خواهد بود:

$p=2^k+/-1$ , $p=4^k+/-3$
$p=2^k-1$ عدد اول باشد (بدیهی است که عدد مرسن اول است.).
$\frac{2^p+1}{3}$ عددی اول است.

توجه داشته باشید که این حدس چگونه به حدس قبلی وابسته‌است.

این سؤال بیشتر از این که یک حدس باشد، از دسته سؤال‌های جواب داده نشده‌است. به راحتی می‌توان نشان داد که اگر مربع عدد اول $p$ بر یک عدد مرسن تقسیم شود، در این صورت $p$ یک عدد اول ویفریچ است و این اعداد کمیاب هستند! فقط دو عدد شناخته شده‌اند که زیر 4,000,000,000,000 هستند و هیچ کدام از این مربع‌ها بر یک عدد مرسن بخش پذیر نیستند.

اگر دنباله‌ای به این صورت باشد که $A_p=2^{A_p}-1$ و $A_0=2$ آیا همه این دنباله اول هستند؟ دیکسون کاتالان، در پاسخ این سؤال در سال 1876، به لوکاس اظهار داشت که 1-127^2 ( $A_4$ )، به این ترتیب اول است. همان طور که مشخص است این اعداد در این دنباله بسیار سریع بزرگ می‌شوند:

C0 = 2 (اول)

C1 = 3 (اول)

C2 = 7 (اول)

C3 = 127 (اول)

C4 = 170141183460469231731687303715884105737 (اول)

51217599719369681879879723386331576246^10 <C5 (سوال:آیا این عدد اول است؟)

به نظر می‌آید احتمال این موضوع خیلی کم باشد که A5 (یا چند عدد بزرگ تر از این دنباله) اول باشدبدون شک این مثال دیگری از «قانون قوی عددهای کوچک» Guy، است. دقت کنید که اگر در این دنباله یکعدد مرکب پیدا شود، طبق نظریه اول، تمام اعداد بعدی مرکب خواهند بود.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن,

ساعت 23:45 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

بزرگترین عدد اول شناخته شده

گراف تعداد ارقام در بزرگترین عدد اول شناخته شده بر حسب سال از زمان به‌وجود آمدن رایانه‌های الکترونیکی. توجه کنید که مقیاس‌های عمودی لگاریتمی هستند.

بزرگترین عدد اول شناخته شده، بزرگترین عدد صحیحی می‌باشد که می‌دانیم عددی اول است.

اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد.

بسیاری از ریاضی‌دانان و محققین تفننی سرگرم جستجوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است.

از آنجایی که اجرای FFT آزمون لوکاس-لمر برای اعداد مرسن سریعتر از هر آزمون دیگری برای انواع دیگر اعداد اول است، بسیاری از بزرگترین اعداد اول شناخت شده عدد اول مرسن هستند؛ در میان ۱۰ بزرگترین عدد اول شناخته شده تا دسامبر ۲۰۰۷ ۶ عدد جزو اعداد مرسن بودند. آخرین ۱۳ عدد اولی که کشف شده‌اند عدد اول مرسن بودند.

استفاده از کامپیوترهای الکترونیکی کشف‌ها را شتاب بخشیده و به طوری که همهٔ اعداد اول کشف شده از ۱۹۵۱ تا کنون به وسیلهٔ این کامپیوترها کشف شده‌اند. تعداد ارقام بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال ۱۹۹۹ از مرز یک میلیون گذشت و باعث دریافت جایزه‌ای ۵۰٬۰۰۰ دلاری شد.

در ژانویه سال ۲۰۱۳ میلادی بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده تا کنون که ۱۷٫۴۲۵٫۱۷۰ رقم دارد، توسط پروژهٔ GIMPS کشف شد:

۲^{۵۷٫۸۸۵٫۱۶۱} - ۱

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:بزرگترین عدد اول شناخته شده,

ساعت 23:35 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند $\; p$ داریم $\;(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$

این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:

برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی غیر مرکب است.

$\;$ $\;(x-1)! \equiv -1 \pmod{x}$

این قضیه تعمیم‌هایی به شکل زیر دارد:

تعمیم گاوس: کارل فریدرش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

$\prod_{k = 1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m} \!\!k \ \equiv \begin{cases} -1 \pmod{m} & \text{if } m=4,\;p^\alpha,\;2p^\alpha \\ \;\;\,1 \pmod{m} & \text{otherwise} \end{cases}$

در اینجا $\alpha$ عددی صحیح و مثبت است.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:عدد اول,قضیه ویلسون,راهی برای تشخیص اعداد اول,

ساعت 23:25 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

ریاضیات در جهان اسلام

ریاضیات در جهان اسلام

به شیوه رسمی و مدون با محمد بن موسی خوارزمی آغاز گردید. در آثار خوارزمی سنت‌های ریاضی در یونان، ایران و هند با هم ترکیب شده‌است. مهم‌ترین اثر خوارزمی، الجبر و المقابله است.

پس از خوارزمی، ابویوسف کندی به تکمیل جبر روی آورد. در عصر ترجمه، آثار آپولونیوس، نیکوماخوس و ارشمیدس به عربی ترجمه شد. ابوالوفا بوزجانی، نخستین شارح کتاب خوارزمی بود، که به تکمیل مبحث معادلات پرداخت. ابن‌سینا، از دیگر ریاضیدانان مسلمان بود؛ وی شرحی بر آثار دیوفانت نوشت.نصیرالدین طوسی، رییس رصدخانه مراغه نیز کتاب‌هایی در زمینه ریاضی تألیف نمود. عمر خیام نیز تألیفات ریاضی مشتمل بر تحقیق در اصل موضوع اقلیدس و حساب و جبر دارد. غیاث‌الدین جمشید کاشانی، کاشف حقیقی کسر اعشاری بوده و اندازه صحیح عدد پی را به دست آورده بود؛ کتابمفتاح‌الحساب وی به زبان عربی‌است. معروف‌ترین چهره ریاضی در قرن دهم، بهاءالدین عاملی است. در نزد مسلمین، ریاضیات به علم عدد، هندسه و جبرتقسیم می‌شده‌است.

دانسته‌های این دوران رفته رفته راه خود را به ممالک غرب پیدا کردند و در شکل‌گیری رنسانس تاثیرات محسوسی گذاشتند. بطور نمونه، لئوناردو فیبوناچیرا مسئول معرفی شیوه عددنویسی هندو-عربی منتج این دوران، و جایگزین کردن سیستم عددنویسی رومی در اروپا با این شیوه دانسته‌اند. و یا در باب اعداد کسری، محمدبن حصار را مبدع خط کسری دانسته‌اند، که در اروپا Vinculum نام گرفت.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:ریاضیات در جهان اسلام,

ساعت 23:18 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

عدد اول

عدد اول

عددی طبیعی بزرگ‌تر از ۱ است که بر هیچ عددی بجز خود و ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن رابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳،۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹

غربال اراتوستنس الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد صحیح برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتوستنس رااراتوستنس، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:عدد اول,الگوریتم غربال اراتوستنس,

ساعت 23:17 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

خوارزمی

أبو عبد الله محمد بن موسی الخوارزمی

ابوجعفر محمد بن موسای خوارزمی

(زاده حدود سال ۷۸۰ میلادی در خوارزم و درگذشته ۸۵۰ میلادی احتمالا در عراق) ریاضیدان،ستاره‌شناس، فیلسوف، جغرافیدان و مورخ شهیر ایرانیدر دوره عباسیان است. وی در حدود سال ۷۸۰ میلادی (قبل از ۱۸۵ قمری) درخوارزم زاده شد. ابن ندیم و قفطی اصالت او را از خوارزم می‌دانند. لقب وی معمولاً اشاره به شهر خوارزم دارد که همان خیوه کنونی واقع در جنوبدریاچه آرال مرکزی و بخشی از جمهوری ازبکستان کنونی است. شهرت علمی وی مربوط به کارهایی است که در ریاضیات، به‌ویژه در رشته جبر، انجام داده به طوری که هیچیک از ریاضیدانان سده‌های میانه مانند وی در فکر ریاضی تأثیر نداشته‌اند و وی را «پدر جبر» نامیده‌اند. جرج سارتن، مورخ مشهور علم، در طبقه‌بندی سده‌ای کتاب خود مقدمه‌ای بر تاریخ علم سده نهم هجری قمری را «عصر خوارزمی» می‌نامد.

خوارزمی ریاضی‌دان بنام قرون وسطی است که حاصل تحقیقات و تألیفات او هنوز مورد استفاده می‌باشد و کتاب جبر و مقابله او را بسیاری از مترجمان مشهور قرون وسطی ترجمه کرده‌اند. بیشترین چیره‌دستی وی در حل معادله‌های خطی و درجه دوم بوده‌است. کتاب Algoritmi de numero Indorum که ترجمه کتاب جمع و تفریق با عددهای هندی او به لاتین است باعث شد تا دستگاه عددی در اروپا از عددنویسی رومی بهعددنویسی هندی-عربی تغییر یابد؛ چیزی که هنوز نیز در اروپا و دیگر نقاط جهان فراگیر است. واژه جبر را اروپائیان بطور کلی از کتاب خوارزمی و اصطلاح امروزی الگوریتم (Algorithmus) از نام خوارزمی گرفته شده است. به هنگام خلافت مامون، وی عضو دارالحکمه که مجمعی از دانشمندان در بغداد به سرپرستی مامون بود، گردید. خوارزمی کارهای دیوفانت را در رشته جبر دنبال کرد و به بسط آن پرداخت.

دستآوردهای خوارزمی

گویند قبل از اینکه محمد بن موسی خوارزمی در دارالحکمه مستقر شود او را به سرزمین هند فرستادند تا حساب هندی را بیاموزد خوارزمی پس از بازگشت از هند دو اثر «حساب الهند» و دیگری «الجبر و المقابله» را نگاشت. وی نتایجی را که یونانیان و هندیان بدست آورده بودند را تلفیق کرد و بدین ترتیب سبب انتقال مجموعه‌ای از معلومات جبری حسابی شد که در ریاضیات قرون وسطیتاثیر عمیقی گذاشت.

خوارزمی در دربار مامون عباسی بسیار مورد توجه قرار داشته، وی بزرگترین ریاضیدان دربار و از منجمین و مشاورین رصدهای بیت‌الحکمه عباسی به حساب می‌آمده. گویند مامون بخش‌های مربوط به هند را بدو واگذار کرده بود که این نشان از آشنایی وی به علوم و سرزمین‌های هند دارد.وی همچنین مسئول تهیه اطلسی از نقشه‌های آسمان و زمین بود. شاید وی از جمله کسانی بوده که در اندازه‌گیری طول نصف النهار کره زمین در دشت سنجار شرکت داشته است.

واثق خلیفه از قراری که ابن خردادبه حکایت می‌کند تحت تأثیر ذوق کنجکاوی، محمد بن موسی خوارزمی منجم را با عده‌ای به بیزانس فرستاد تا دربارة محل غاری که می‌گوینداصحاب کهف در آنجا مدفون شده‌اند تحقیق کند.

برچسب‌ها:

نوشته شده در دو شنبه 30 شهريور 1394برچسب:خوارزمی,دستاوردهای خوارزمی,

ساعت 19:58 توسط : NILOFAR | دسته : <-CategoryName->

[]

آخرین نوشته ها

دسته بندی ها

جستجو

لینک های روزانه

آرشیو

برچسب ها

لینک دوستان

mathroom

تاریخچه بزرگترین اعداد اول شناخته شده

اعداد اول

کشف و محاسبه

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

الگوهای توزیع اعداد اول

اعداد مرسن

اثبات چند قضیه کاربردی در این رابطه

اعداد مرسن واعداد کامل(تام)

آزمایش لوکاس- لمر

آیا عدد کامل فرد وجود دارد؟

آیا تعداد اعداد مرسن بی نهایت است؟

آیا تعداد اعداد مرسن مرکب بی نهایت است؟

جبر در تاریخ

جبر در تاریخ

نظریات خیام و فارابی درباره جبر

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

حدس جدید در بارهٔ اعداد مرسن

بزرگترین عدد اول شناخته شده

قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول

ریاضیات در جهان اسلام

عدد اول

خوارزمی

دستآوردهای خوارزمی